Question

3．在直角坐标系xoy中，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t为参数，0≤α＜\frac{π}{2}）$，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}（0≤θ＜2π）$，若直线与y轴正半轴交于点M，与曲线C交于A、B两点，其中点A在第一象限．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及点M对应的参数t_M（用α表示）；
（Ⅱ）设曲线C的左焦点为F₁，若|F₁B|=|AM|，求直线l的倾斜角α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，得ρ²+2ρ²sin²θ=3，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，能求出曲线C的直角坐标方程；由题意可知点M的横坐标为0，代入$x=-\sqrt{2}+tcosα=0$，由此能求出点M对应的参数t_M．
（Ⅱ）直线过定点${F_1}（-\sqrt{2}，0）$，将$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t为参数，0≤α＜\frac{π}{2}）$代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，得$（1+2{sin^2}α）{t^2}-2\sqrt{2}cosαt-1=0$，由此利用|F₁B|=|AM|，能求出直线l的倾斜角α的值．

解答 解：（Ⅰ）由${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$得ρ²+2ρ²sin²θ=3，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
∴曲线C的直角坐标方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．…（2分），
又由题意可知点M的横坐标为0，
代入$x=-\sqrt{2}+tcosα=0$，∴${t_M}=\frac{{\sqrt{2}}}{cosα}$…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线过定点${F_1}（-\sqrt{2}，0）$，
将$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t为参数，0≤α＜\frac{π}{2}）$代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
化简可得$（1+2{sin^2}α）{t^2}-2\sqrt{2}cosαt-1=0$，
设A、B对应的参数分别为t₁，t₂，
∵|F₁B|=|AM|，∴|t₁+t₂|=|t_M|，sinα=$±\frac{1}{2}$，
∴0$≤α＜\frac{π}{2}$，∴α=$\frac{π}{6}$．…（10分）

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查角的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．