Question

19．以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程ρ=$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，已知定点P（$\frac{1}{2}，\;0$），当α=$\frac{π}{3}$时，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}得{ρ^2}{sin^2}θ=2ρcosθ$，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$，代入y²=2x，得3t²-4t-4=0，由此能求出|PA|+|PB|的值．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）由$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}得{ρ^2}{sin^2}θ=2ρcosθ$，
所以曲线C的直角坐标方程为y²=2x…（5分）
（2）因为$α=\frac{π}{3}$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$，
代入y²=2x，得3t²-4t-4=0，
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则${t_1}+{t_2}=\frac{4}{3}$，${t_1}{t_2}=-\frac{4}{3}$
所以|PA|+|PB|=$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$=$\frac{8}{3}$．…（10分）

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查线段和的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．