Question

4．下表提供了某公司技术升级后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的成本y（万元）的几组对照数据：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y对x的回归直线方程；
（3）已知该公司技术升级前生产100吨A产品的成本为90万元．试根据（2）求出的回归直线方程，预测技术升级后生产100吨A产品的成本比技术升级前约降低多少万元？
（附：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{1}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值）

Answer 1

分析 （1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来即可；
（2）计算平均数和回归方程的系数，写出线性回归方程；
（3）利用线性回归方程计算x=100时$\stackrel{∧}{y}$的值，再求出比技改前降低了多少．

解答 解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如下：

（2）计算$\overline x=\frac{1}{4}（3+4+5+6）=4.5$，
$\overline y=\frac{1}{4}（2.5+3+4+4.5）=3.5$，
$\sum_{i=1}^4{x_1^2={3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}}=86$，
$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5}=66.5$，
∴回归方程的系数为
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^4{x_1^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{66.5-4×4.5×3.5}{{86-4×{{4.5}^2}}}=0.7$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=3.5-0.7×4.5=0.35$，
所求线性回归方程为$\hat y=0.7x+0.35$；
（3）利用线性回归方程计算x=100时，
$\hat y=0.7×100+0.35=70.35$，
又90-70.35=19.65，
即比技改前降低了19.65吨．

点评 本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．