Question

6．在数列{a_n}中，a₁=4，na_n+1-（n+1）a_n=2n²+2n．
（Ⅰ）求证：数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是等差数列；
（Ⅱ）求数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）解法一：$n{a_{n+1}}-（n+1）{a_n}=2{n^2}+2n$的两边同时除以n（n+1），$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=2（n∈{{N}^*}）$，即可证明
解法二：依题意，可得${a_{n+1}}=\frac{{（n+1）{a_n}}}{n}+2n+2$，可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=\frac{{\frac{{（n+1）{a_n}}}{n}+2n+2}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=\frac{a_n}{n}+2-\frac{a_n}{n}=2$，即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得$\frac{a_n}{n}=2n+2$，可得${a_n}=2{n^2}+2n$，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（I）解法一：（Ⅰ）$n{a_{n+1}}-（n+1）{a_n}=2{n^2}+2n$的两边同时除以n（n+1），
得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=2（n∈{{N}^*}）$，（3分）
所以数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是首项为4，公差为2的等差数列．（6分）
解法二：依题意，可得${a_{n+1}}=\frac{{（n+1）{a_n}}}{n}+2n+2$，（1分）
所以$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=\frac{{\frac{{（n+1）{a_n}}}{n}+2n+2}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=\frac{a_n}{n}+2-\frac{a_n}{n}=2$，
即$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=2（n∈{{N}^*}）$，（3分）
所以数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是首项为4，公差为2的等差数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得$\frac{a_n}{n}=2n+2$，（7分）
所以${a_n}=2{n^2}+2n$，故$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{2{n^2}+2n}}=\frac{1}{2}•\frac{（n+1）-n}{n（n+1）}=\frac{1}{2}•（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，（8分）
所以${S_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{2}[（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）-（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{2（n+1）}$．（12分）

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．