Question

16．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，准线l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径作圆交l于B、D两点，∠BFD=120°，△ABD的面积为4$\sqrt{3}$，则p的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据∠BFD，|BF|=|FD|，推断出∠FBD=∠FBD=30°，进而表示出|FR|，|BF|，|BR|，|DF|，|DR|，进而表示出|BD|及圆的半径，进而利用抛物线的定义求得A到直线l的距离，利用三角形的面积，求得p的值．

解答 解：∵∠BFD=120°，|BF|=|FD|，
∴∠FBD=∠FBD=30°，
∵在Rt△BFR中，|FR|=p，
∴|BF|=2p，|BR|=$\sqrt{3}$p，
同理得：|DF|=2p，|DR|=$\sqrt{3}$p，
∴|BD|=|BR|+|RD|=2$\sqrt{3}$P，
圆F的半径|FA|=|FB|=2p，
由抛物线的定义可知A到l的距离d=|FA|=2p，
∵△ABD的面积为4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$|BD|•d=4$\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$p•2p=4$\sqrt{3}$，解得：p=$\sqrt{2}$或p=-$\sqrt{2}$（舍去），
p的值为$\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本题主要考查了抛物线的基本性质，圆锥曲线的位置关系，圆的方程等问题．综合性强，计算量大，考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题．