Question

1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=$\sqrt{3}$bsinC+ccosB．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=2$\sqrt{7}$，△ABC的面积为3$\sqrt{3}$，求a、b的值．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理、和差公式即可得出．
（II）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（I）∵a+b=$\sqrt{3}$bsinC+ccosB，∴a+b=$\sqrt{3}$bsinC+c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$．
化为：$\sqrt{3}$sinC-cosC=1，可得$sin（C-\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π）．
∴$C-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，解得C=$\frac{π}{3}$．
（II）由余弦定理可得：$（2\sqrt{7}）^{2}$=a²+b²-2ab×$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}ab$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
解得a=2，b=6，或a=6，b=2．

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．