题目内容
已知中心在原点，一焦点为F（0，
）的椭圆被直线L：y=2x-2截得的弦的中点横坐标为
，求此椭圆的方程．
| 40 |
| 1 |
| 3 |
考点：椭圆的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先根据焦点坐标得出a2-b2=40，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．
解答：
解：∵椭圆中心在原点，一焦点为F（0，
），
∴设椭圆为
+
=1，（a＞b＞0），a2=b2+c2=b2+40，①
把y=2x-2代入椭圆方程，得（a2+4b2）x2-8b2x+4b2-a2b2=0，
∵椭圆被直线l：y=2x-2截得的弦的中点横坐标为
，
∴
=
，整理，得a2=8b2，②
由①②解得：a2=
，b2=
，
∴椭圆为：
+
=1．
| 40 |
∴设椭圆为
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
把y=2x-2代入椭圆方程，得（a2+4b2）x2-8b2x+4b2-a2b2=0，
∵椭圆被直线l：y=2x-2截得的弦的中点横坐标为
| 1 |
| 3 |
∴
| 4b2 |
| a2+4b2 |
| 1 |
| 3 |
由①②解得：a2=
| 320 |
| 7 |
| 40 |
| 7 |
∴椭圆为：
| x2 | ||
|
| y2 | ||
|
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．
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