Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足：S_n=2a_n-2n（n∈N^*）
（1）求证：{a_n+2}是等比数列
（2）求数列{a_n}的通项a_n
（3）若数列{b_n}的满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{

bn

an+2

}的前n项和，求证

1

2

≤T_n≤

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n=2a_n-2a_n-1-2，所以a_n+2=2（a_n-1+2），由此能证明{a_n+2}是以a₁+2=4为首项，2为公比的等比数列．
（2）{a_n+2}是以a₁+2=4为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项a_n．
（3）由

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，由此利用错位相减法能求出Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．由此能证明

1

2

≤T_n＜

3

2

．

解答： （1）证明：当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，
则当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴

an+2

an-1+2

=2，
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2=4为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：∵{a_n+2}是以a₁+2=4为首项，2为公比的等比数列，
∴an+2=4×2n-1，
∴an=2n+1-2．
（3）证明：bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1，
∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
则Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，①

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，②
①-②，得：

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．
当n≥2时，T_n-T_n-1=-

n+1

2n+1

+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0，
∴{T_n}为递增数列，∴T_n≥T₁=

1

2

，
又∵

n+2

2n+1

＞0，∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

＜

3

2

．
∴

1

2

≤T_n＜

3

2

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．