Question

已知：各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂+2a₃=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）将同时满足下列两个条件的数列{c_n}称为“约束数列”：①c_n＞c_n+1（n∈N^*）；②存在常数M，使得数列{c_n}的前n项和S_n＜M对任意的n∈N^*恒成立，试判断数列{a_n}是否是“约束数列”，并说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{ac_n}的前n项和T_n，根据“约束数列”的定义进行判断即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}公比为q，则由a₂+2a₃=1得qa₁+2a₁q²=1，
2q²+q-1=0，解得q=

1

2

或-1．
∵各项均为正数的等比数列{a_n}，
∴q=

1

2

，
即数列的通项公式a_n=（

1

2

）^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

an+1

an

=

1

2

且a_n＞0，
则a_n=2a_n+1＞a_n+1，
设数列{a_n}的前n项和T_n，
则T_n=

a1(1-qn)

1-q

=2[1-(

1

2

)n]=2-（

1

2

）^n-1＜2，
即数列{a_n}的前n项和T_n＜2，
∴数列{a_n}是“约束数列”．

点评：本题主要考查等比数列，数列通项公式，数列求和的知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．