Question

若2x+y≥1，u=y ²-2y+x ²+6x，则u的最小值等于（　　）

• A、-

  7

  5

• B、-

  14

  5

• C、

  7

  5

• D、

  14

  5

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：如图所示，u=y ²-2y+x ²+6x，化为u+10=（x+3）²+（y-1）²．表示点C（-3，1）到可行域（阴影部分）2x+y≥1的距离的平方，因此当圆（x+3）²+（y-1）²=u+10＞0和直线2x+y=1相切时u取得最小值．利用点到直线的距离公式求出即可．

解答： 解：如图所示，
u=y ²-2y+x ²+6x，
化为u+10=（x+3）²+（y-1）²．
表示点C（-3，1）到可行域（阴影部分）2x+y≥1的距离的平方，
因此当圆（x+3）²+（y-1）²=u+10＞0和直线2x+y=1相切时u取得最小值．
由u+10=(

|-6+1-1|

5

)2=

36

5

，解得u=-

14

5

．
∴u的最小值等于-

14

5

．
故选：B．

点评：本题考查了可行域、直线与圆的相切的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．