Question

设S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且a_n和S_n满足：4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3，…），则S_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由4S_n=（a_n+1）²，当n=1时，解得a₁=1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(

an

2

+

1

2

)2-(

an-1

2

+

1

2

)2，可得a_n-a_n-1=2．利用等差数列的通项公式即可得出．

解答： 解：由4S_n=（a_n+1）²，当n=1时，4a₁=(a1+1)2，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(

an

2

+

1

2

)2-(

an-1

2

+

1

2

)2，
∵?n∈N^*，a_n＞0．
化为a_n-a_n-1=2．
∴a_n=2n-1．
∴S_n=n²．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．