Question

设函数y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N^*）的图象在x轴上截得的线段长为d_n，记数列{d_n}的前n项和为S_n，若存在正整数n，使得log₂（S_n+1） m-n2≥60成立，则实数m的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：令y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1=0，可得d_n=x₂-x₁=2^n-1．利用等比数列的前n项和公式可得S_n=2ⁿ-1．log₂（S_n+1） m-n2≥60化为n（m-n²）≥60，
m≥

60

n

+n2，变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：令y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1=0，解得x1=2n-1，x2=2×2n-1，
∴d_n=x₂-x₁=2^n-1．
∴S_n=

2n-1

2-1

=2ⁿ-1．
∴log₂（S_n+1） m-n2≥60化为n（m-n²）≥60，
∴m≥

60

n

+n2=

30

n

+

30

n

+n2≥3

3	30 n • 30 n •n2

=90，
取n=3时，m取得最小值29．
故答案为：29．

点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．