Question

1．已知函数f（x）=x²-mx对任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₂）-f（x₁）|≤9，求实数m的取值范围$[-\frac{5}{2}，\frac{13}{2}]$．

Answer 1

分析 依题意，f（x）_max-f（x）_min≤9，函数f（x）=x²-mx的对称轴方程为：x=$\frac{m}{2}$，分①若$\frac{m}{2}$≤0，即m≤0时，②若0＜$\frac{m}{2}$≤1，即0＜m≤2时，③若1＜$\frac{m}{2}$≤2，即2＜m≤4时，④若$\frac{m}{2}$＞2，即m＞4时，四类讨论，利用二次函数的单调性与最值分别求得各类中m的取值范围，最后取并即可得到答案．

解答 解：∵f（x）=x²-mx对任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₂）-f（x₁）|≤9，
∴f（x）_max-f（x）_min≤9，
∵函数f（x）=x²-mx的对称轴方程为：x=$\frac{m}{2}$，
①若$\frac{m}{2}$≤0，即m≤0时，函数f（x）=x²-mx在区间[0，2]上单调递增，f（x）_max=f（2）=4-2m，f（x）_min=f（0）=0，依题意，4-2m≤9，解得：m≥-$\frac{5}{2}$，即-$\frac{5}{2}$≤m≤0；
②若0＜$\frac{m}{2}$≤1，即0＜m≤2时，同理可得，f（x）_max=f（2）=4-2m，f（x）_min=f（$\frac{m}{2}$）=-$\frac{{m}^{2}}{4}$，依题意，4-2m-（-$\frac{{m}^{2}}{4}$）≤9，解得：-2≤m≤10，即0＜m≤2；
③若1＜$\frac{m}{2}$≤2即2＜m≤4时，同上得：f（x）_max=f（0）=0，f（x）_min=f（$\frac{m}{2}$）=-$\frac{{m}^{2}}{4}$，依题意，0-（-$\frac{{m}^{2}}{4}$）≤9，解得：-6≤m≤6，即2＜m≤4；
④若$\frac{m}{2}$＞2即m＞4时，函数f（x）=x²-mx在区间[0，2]上单调递减，f（x）_max=f（0）=0，f（x）_min=f（2）=4-2m，依题意，0-（4-2m）≤9，解得：m≤$\frac{13}{2}$，即4＜m≤$\frac{13}{2}$；
综合①②③④得：-$\frac{5}{2}$≤m≤$\frac{13}{2}$．
故答案为：$[{-\frac{5}{2}，\frac{13}{2}}]$．

点评 本题考查函数恒成立问题，重点考查二次函数的单调性与最值，突出考查等价转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查推理与综合运算能力，属于难题．