Question

已知函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，且图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m＞1（n，m∈Z）时，证明：（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由ax+xln|x+b|是奇函数，得到y=a+ln|x+b|为偶函数，从而求得b的值，代入原函数，由函数在x=e处的斜率等于3求得a的值；
（2）把f（x）的解析式代入且k＜

f(x)

x-1

，构造辅助函数g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，求导得其最小值，从而求得k的最大值；
（3）把证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ转化为证明

nlnn

n-1

＞

mlnm

m-1

，然后构造辅助函数φ（x）=

xlnx

x-1

，由导函数证明该函数为增函数，从而证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

解答： （1）解：由f（x）=ax+xln|x+b|=x（a+ln|x+b|）是奇函数，
则y=a+ln|x+b|为偶函数，∴b=0．
又x＞0时，f（x）=ax+xlnx，
∴f′（x）=a+1+lnx，
∵f′（e）=3，
∴a=1；
（2）解：当x＞1时，令g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，
∴g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

，令ln（x）=x-2-lnx，
∴h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
∴y=h（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴h′（1）=-1＜0，h′（3）=1-ln3＜0，h′（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使得h′（x₀）=0，
则x∈（1，x₀），h′（x）＜0，g′（x）＜0，y=g（x）为减函数．
x∈（x₀，+∞），h′（x）＞0，g′（x）＞0，y=g（x）为增函数．
∴g(x)min=g(x0)=

x0+x0lnx0

x0-1

=x0．
∴k＜x₀，又x₀∈（3，4），k∈Z，
∴k_max=3；
（3）证明：要证（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ，
即证mlnm+nmlnn＞nlnn+nmlnm，
即证

nlnn

n-1

＞

mlnm

m-1

，
令φ（x）=

xlnx

x-1

，φ′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

，
令g（x）=x-1-lnx，
g′(x)=1-

1

x

＞0（x＞1），
∴g（x）为增函数，
又g（1）=0，
∴g（x）=x-1-lnx＞0，即φ′（x）＞0．
∴φ（x）=

xlnx

x-1

在（1，+∞）上为增函数，
∵n＞m＞1，
∴

nlnn

n-1

＞

mlnm

m-1

，
则（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是压轴题．