Question

3．如图所示，B，C两点是函数f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{3}$）（A＞0）图象上相邻的两个最高点，D点为函数f（x）图象与x轴的一个交点．
（Ⅰ）若A=2，求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（Ⅱ）若BD⊥CD，求A的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．
（Ⅱ）先由条件利用五点法作图求得BCD的坐标，再利用 $\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}$=0，求得A的值．

解答 解：（Ⅰ）若A=2，求f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
（Ⅱ）分别令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{2}$，求得B、C的横坐标分别为$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{12}$，
故B（$\frac{π}{12}$，A）、C（$\frac{13π}{12}$，A），可得D（$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{4}•\frac{2π}{2}$，0），即D（$\frac{π}{3}$，0）．
若BD⊥CD，∴$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}$=（-$\frac{π}{4}$，A）（$\frac{3π}{4}$，A）=-$\frac{3π}{16}$+A²=0，∴A=$\frac{\sqrt{3π}}{4}$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于中档题．