Question

7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{n}$．①
第二步：将数列①的各项乘以n，得到数列（记为）a₁，a₂，a₃，…，a_n．则a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n=n（n-1）．

Answer 1

分析 利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_k=$\frac{n}{k}$．
n≥2时，a_k-1a_k=$\frac{{n}^{2}}{（k-1）k}$=n²（$\frac{1}{k-1}$-$\frac{1}{k}$）．
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n=n²[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）]=n²（1-$\frac{1}{n}$）=n（n-1）．
故答案为：n（n-1）

点评 本题考查了“裂项求和”方法、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．