Question

小明早上从家里出发到学校上课，如图所示，有两条路线可走，且走哪条路线的可能性是相同的，图中A、B、C、D处都有红绿灯，小明在每个红绿灯处遇到红灯的概率都是

1

3

，且各个红绿灯处遇到红灯的事件是相互独立的，每次遇到红灯都需等候10秒．
（1）求小明没有遇到红灯的概率；
（2）记小明等候的总时间为ξ，求ξ的分布列并求数学期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（I）记“小明没有遇到红灯”为事件A，利用相互独立事件的概率乘法公式能求出小明没有遇到红灯的概率．
（II）由题可知：ξ=0，10，20，30，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列并求数学期望．

解答： 解：（I）记“小明没有遇到红灯”为事件A，
则P(A)=

1

2

×(1-

1

3

)3+

1

2

×(1-

1

3

)2=

10

27

…（4分）
（II）由题可知：ξ=0，10，20，30 …（6分）
P(ξ=0)=

10

27

，
P(ξ=10)=

1

2

C

1 3

1

3

(1-

1

3

)2+

1

2

C

1 2

1

3

(1-

1

3

)=

4

9

…（8分）
P(ξ=20)=

1

2

C

2 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)+

1

2

C

2 2

(

1

3

)2=

1

6

…（10分）
P(ξ=30)=

1

2

C

3 3

(

1

3

)3=

1

54

…（12分）
∴ξ的分布列：

	0	10	20	30
P	10 27	4 9	1 6	1 54

∴E（ξ）=0×

10

27

+10×

4

9

+20×

1

6

+30×

1

54

=

25

3

…（14分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．