Question

已知函数y=f（x+1）为奇函数，y=f（x-1）为偶函数，且f（0）=1，则f（4）=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：利用y=f（x+1）为奇函数，y=f（x-1）为偶函数，将f（4）进行转化即可．

解答： 解：∵y=f（x+1）为奇函数，y=f（x-1）为偶函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），①
f（-x-1）=f（x-1），②
即函数f（x）关于x=-1对称．
∴f（x-1）=f（-x-1）②
在②中令x=1得：f（0）=f（-2）=1，
∴f（-2）=1，
在①中令x=-3得：f（-2）=-f（4），
∴f（4）=-f（-2）=-1，
答案为：-1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的性质，将f（4）进行转化是解决本题的关键．