将一个水平放置的正方形ABCD绕直线AB向上转动45°到ABC1D1.再将所得正方形ABC1D1绕直线BC1向上转动45°到A2BC1D2.则平面A2BC1D2与平面ABCD所成二面角的正弦值等于．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

将一个水平放置的正方形ABCD绕直线AB向上转动45°到ABC₁D₁，再将所得正方形ABC₁D₁绕直线BC₁向上转动45°到A₂BC₁D₂，则平面A₂BC₁D₂与平面ABCD所成二面角的正弦值等于

．

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：利用三面角的第二余弦定理，建立等式，即可求解．

解答： 解：先来证明三面角的第二余弦定理：在三面角O-ABC中，设二面角B-OA-C为α，

则有：cosα×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC=cos∠BOC
在OA上取一点D，过D作OD的垂线DE、DF分别交OB、OC于E与F．接着使用向量证明．考虑有向线段OD、OE、OF、DE、DF．易知：cosα=
DE
•
DF
|
DE
||
DF
|
，sin∠AOB=

，sin∠AOC=

，
cos∠AOB=
OD
•
OE
|
OD
||
OE
|
，cos∠AOC=
OD
•
OF
|
OD
||
OF
|
，cos∠BOC=
OE
•
OF
|
OE
||
OF
|

则实际是要证明：
DE
•
DF
|
DE
||
DF
|
×

•

×
OD
•
OF
|
OD
||
OF
|
=
OE
•
OF
|
OE
||
OF
|

利用
OD
•
OE
=
OD
•
OF
=
OD
2可得出原式等价于

•

∵
OE
•
OF
=(
OD
+
DE
)•(
OD
+
DF
)=

•

，

•

=0，∴可证明原式．

令∠ABC为α，α=90°，平面A₂BCD₂与平面ABCD所成角为A，二面角C₁-AB-D为D，二面角D₁-BC₁-E为B；
根据三面角的第二余弦定理有：cosA=-cosDcosB+sinDsinBcosα，所以cosA=-cos45°cos（180°-45°）+sin45°sin（180°-45°）cos90°，所以cosA=0.5，所以sinA=

．
故答案为：

．

点评：本题考查面面角，考查第二余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．