Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，且a_n+1=

an

2+an

．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式；
（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）由a₁=

1

2-1

，a₂=

1

22-1

，a₃=

1

23-1

，a₄=

1

24-1

，即可猜想得到通项公式；
（3）利用（2）的猜想a_n的表达式，运用数学归纳法证明．注意两个步骤缺一不可，特别必须运用假设证明n=k+1，也成立．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，
∴a₂=

a1

2+a1

=

1

3

，a₃=

a2

2+a2

=

1

7

，a₄=

a3

2+a3

=

1

15

．             
（2）由（1），a₁=

1

2-1

，a₂=

1

22-1

，a₃=

1

23-1

，a₄=

1

24-1

，
可以猜想a_n=

1

2n-1

．                                    
（3）用数学归纳法证明：
ⅰ）当n=1时，a₁=

1

1

=1，所以当n=1时猜想成立．             
ⅱ）假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_k=

1

2k-1

，
当n=k+1时，a_k+1=

ak

2+ak

=

1 2k-1

2+ 1 2k-1

=

1

2k+1-1

，
所以当n=k+1时猜想也成立．
由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N^*都成立．                   
所以a_n=

1

2n-1

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．