Question

2．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2016，则不等式e^xf（x）＞e^x+2015（其中e为自然对数的底数）的解集为{x丨x＞0}．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解．

解答 解：设g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵e^xf（x）＞e^x+2015，
∴g（x）＞2015，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=2016-1=2015，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
则不等式的解集为：{x丨x＞0}
故答案为：{x丨x＞0}．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数与函数的单调性的应用，导数与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．