Question

解关于x的不等式，（a∈R）：
（1）ax²-2（a+1）x+4＞0；
（2）x²-2ax+2≤0．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论：a=0，a＜0两种情况易解；a＞0时，由对应方程的两根大小关系再分三种情况讨论即可；
（2）按照△=4a²-8的符号分三种情况讨论即可解得；

解答： 解：（1）ax²-2（a+1）x+4＞0可化为（ax-2）（x-2）＞0，
（i）当a=0时，不等式可化为x-2＜0，不等式的解集为{x|x＜2}；
（ii）当a＞0时，不等式可化为（x-

2

a

）（x-2）＞0，
①若

2

a

＞2，即0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞

2

a

}；
②若

2

a

=2，即a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
③若

2

a

＜2，即a＞1时，不等式的解集为{x|x＜

2

a

或x＞2}．
（iii）当a＜0时，不等式可化为（x-

2

a

）（x-2）＜0，不等式的解集为{x|

2

a

＜x＜2}．
综上，a=0时，不等式的解集为{x|x＜2}；0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞

2

a

}；
a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；a＞1时，不等式的解集为{x|x＜

2

a

或x＞2}；a＜0时，不等式的解集为{x|

2

a

＜x＜2}．
（2）x²-2ax+2≤0，
△=4a²-8，
①当△＜0，即-

2

＜a＜

2

时，不等式的解集为∅；
②当△=0，即a=±

2

时，不等式的解集为{x|x=a}；
③当△＞0，即a＜-

2

或a＞

2

时，不等式的解集为[x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}．
综上，-

2

＜a＜

2

时，不等式的解集为∅；a=±

2

时，不等式的解集为{x|x=a}；
a＜-

2

或a＞

2

时，不等式的解集为[x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}．

点评：该题考查含参数的一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，若二次系数为参数，要按照二次系数的符号讨论；若△符号不确定，要按△符号讨论；若△＞0，要按照两根大小讨论．属中档题．