Question

19．（1）设椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点（0，4），离心率为$\frac{3}{5}$，求C的标准方程；
（2）已知抛物线的准线方程是y=-2，求抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的焦点在x轴上，过（0，4），则b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，求得a=5，写出椭圆方程；
（2）设抛物线方程为：x²=2py（p＞0），$\frac{p}{2}$=2，2p=8，∴抛物线的标准方程x²=8y．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，过（0，4），则b=4，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{16}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，解得：a=5，
椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）抛物线的准线方程是y=-2，焦点在y轴正半轴，设抛物线方程为：x²=2py（p＞0），
则$\frac{p}{2}$=2，2p=8，
∴抛物线的标准方程x²=8y．

点评 本题考查椭圆和抛物线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．