Question

8．设函数f（x）=x²+2ax-b²+4无零点
（1）若a是从-2、-1、0、1、2五个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求函数无零点的概率；
（2）若是从区间[-2，2]任取的一个数，是从区间[0，2]任取的一个数，求函数无零点的概率．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=x²+2ax-b²+4无零点，知a²+b²＜4，由此利用列举法能求出函数无零点的概率．
（2）试验的全部结果所构成的区域为Ω={（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2}，事件“函数无零点”所构成的区域为A={（a，b）|a²+b²＜4，且（a，b）∈Ω}，由此利用几何概型能求出函数无零点的概率．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+2ax-b²+4无零点，
∴方程x²+2ax-b²+4=0无实根，∴a²+b²＜4，
记事件A为函数f（x）=x²+2ax-b²+4无零点，
∵a是从-2、-1、0、1、2五个数中任取的一个数，
b是从0、1、2三个数中任取的一个数，
∴基本事件共有15个，分别为：
（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，0），（-1，1），
（-1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），
（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），
事件A包含6个基本事件，分别为：
（-1，0），（-1，1），（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），
∴函数无零点的概率P（A）=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．…（6分）
（2）如图，试验的全部结果所构成的区域为：
Ω={（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2}，
事件A所构成的区域为：
A={（a，b）|a²+b²＜4，且（a，b）∈Ω}，…（10分）
即图中的阴影部分．
∴函数无零点的概率P（A）=$\frac{{S}_{A}}{{S}_{Ω}}$=$\frac{2π}{8}=\frac{π}{4}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法、几何概型的合理运用．