Question

观察下列等式：
（x²+x+1）⁰=1；
（x²+x+1）¹=x²+x+1；
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1；
（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1；
由此可以推测：（x²+x+1）⁵的展开式中，系数最大的项是

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：有题意可知当n=n时，展开式有2n+1项，且展开式中间一项的系数最大，利用排列组合求出展开式的第6项的系数，问题得以解决．

解答： 解：观察所给的等式
当n=0时，展开式有1项，当n=1时，展开式有3项，当n=2时，展开式有5项，当n=3时，展开式有7项，
由此得到规律为，当n=n时，展开式有2n+1项，且展开式中间一项的系数最大，
因此当n=5时，按x的降次排列，展开式有11项，且展开式第6项的系数最大，
展开式的第6项的系数为C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51；
由此可以推测：（x²+x+1）⁵的展开式中，系数最大的项是：51x⁶，
故答案为：51x⁶，

点评：本题考查二项式定理的运用以及归纳推理，解题的关键在于发现所给等式的系数变化的规律．