题目内容
已知正四面体ABCD的棱长为4，设正四面体内切球半径为r，外接球半径为R，MN是内切球的一条直径，P在正四面体表面上运动．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①AB⊥CD
②从正四面体的六条棱中任选两条，则它们互相垂直的概率为
③R=3r
④r=
⑤
•
的最大值为
．
①AB⊥CD
②从正四面体的六条棱中任选两条，则它们互相垂直的概率为
| 4 |
| 15 |
③R=3r
④r=
| ||
| 3 |
⑤
| PM |
| PN |
| 16 |
| 3 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：概率与统计,简易逻辑
分析：①利用正四面体的性质判断正误即可；
②利用古典概型求出结果判断正误即可；
③设所求正四面体为S-ABCD，可得它的内切球的球心0在高线SH上，延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO．利用正三角形的性质及三角形相似，算出内切球的半径OH=
SH．判断正误即可；
④利用③的方法求出内切球的半径，判断正误即可；
⑤利用“当点P，M，N三点共线时，取得最大值”，可知当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，求出即可．
②利用古典概型求出结果判断正误即可；
③设所求正四面体为S-ABCD，可得它的内切球的球心0在高线SH上，延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO．利用正三角形的性质及三角形相似，算出内切球的半径OH=
| 1 |
| 4 |
④利用③的方法求出内切球的半径，判断正误即可；
⑤利用“当点P，M，N三点共线时，取得最大值”，可知当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，求出即可．
解答：
解：对于①，正四面体的对角线互相垂直，所以①正确；
对于②，从正四面体的六条棱中任选两条，则它们互相垂直的概率为：
=
，所以②不正确；
对于③，设正四面体S-ABCD如图所示
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH：HD=2：1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
∴
=
=3，可得OA=30H=S0
因此，SH=4OH，可得内切球的半径OH=
SH，
③正确；
对于④，由③，
可得内切球的半径OH=
SH
∵正四面体棱长为4，
∴Rt△SHD中，SD=2
，HD=
SD=
可得SH=
=
，得内切球的半径r=OH=
×
=
．④正确．
对于⑤，解：设点O是此正方体的内切球的球心，半径R=1．
∵
•
≤|
||
|，
∴当点P，M，N三点共线时，
•
取得最大值．
当且仅当点P为正四面体的一个顶点时上式取得最大值，
∴（
•
）max=
×
=
．⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
对于②，从正四面体的六条棱中任选两条，则它们互相垂直的概率为：
| 3 | ||
|
| 1 |
| 5 |
对于③，设正四面体S-ABCD如图所示
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH：HD=2：1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
∴
| OA |
| OH |
| DS |
| DH |
因此，SH=4OH，可得内切球的半径OH=
| 1 |
| 4 |
③正确；
对于④，由③，
可得内切球的半径OH=| 1 |
| 4 |
∵正四面体棱长为4，
∴Rt△SHD中，SD=2
| 3 |
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
可得SH=
| SD2-HD2 |
4
| ||
| 3 |
| 1 |
| 4 |
4
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
对于⑤，解：设点O是此正方体的内切球的球心，半径R=1．
∵
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
∴当点P，M，N三点共线时，
| PM |
| PN |
当且仅当点P为正四面体的一个顶点时上式取得最大值，
∴（
| PM |
| PN |
4
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 16 |
| 3 |
故答案为：①③④⑤．
点评：本题考查正四面体的内切球与外接球的知识的应用，考查直线与直线的位置关系，古典概型以及内切球与外接球的半径的求法，以及充分理解数量积得性质“当点P，M，N三点共线时，
•
取得最大值”是解题的关键．
| PM |
| PN |
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