Question

已知函数f（x）=x²+ax+3，g（x）=（6+a）•2^x-1
（Ⅰ）若f（1）=f（3），求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，判断函数F（x）=

2

1+g(x)

的单调性，并给出证明；
（Ⅲ）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a（a∉（-4，4））恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由f（1）=f（3）计算即得a的值；
（Ⅱ）g（x）=2x，F（X）=

2

1+2x

，先判断F（x）在R上是减函数，然后用定义证；
（Ⅲ）x∈[-2，2]时，f（x）≥a（a∉（-4，4））恒成立转化为x²+ax+3-a≥0在x∈[-2，2]∉（-4，4）恒成立，令h（x）=x²+ax+3-a，求出h（x）在[-2，2]上的最小值，只需最小值不小于0．然后讨论对称轴和区间的关系，求出最小值，解出a的范围，最后求并集．

解答： 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x²+ax+3，f（1）=f（3），
即1+a+3=9+3a+3，所以a=-4；
（Ⅱ）因为g（x）=2•2^x-1=2^x，
所以F（X）=

2

1+2x

在R上是减函数．
理由如下：设x1＜x2，
F（x₁）-F（x₂）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=2•

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

，
因为x1＜x2，所以2x1＜2x2⇒2x2-2x1＞0，
所以F（x₁）-F（x₂）＞0即F（x₁）＞F（x₂），
故F（X）=

2

1+2x

在R上是减函数．
（Ⅲ）x∈[-2，2]时，f（x）≥a（a∉（-4，4））恒成立
等价于x²+ax+3-a≥0在x∈[-2，2]∉（-4，4）恒成立，
令h（x）=x²+ax+3-a，x²+ax+3-a≥0恒成立?h（x）_min≥0，
因为h（x）图象关于x=-

a

2

对称，
又因为a∉（-4，4），所以-

a

2

∉(-2，2)，
①当-

a

2

≤-2即a≥4时，[-2，2]是增区间，故h（x）_min=h（-2）=7-3a≥0⇒a≤

7

3

，
又因为a≥4，所以a∈Φ；
②当-

a

2

≥2即a≤-4时，[-2，2]是减区间，故h（x）_min=h（2）=a+7≥0⇒a≥-7，
又因为a≤-4，所以-7≤a≤-4．
综上a的取值范围是-7≤a≤-4．
故实数a的最小值是-7．

点评：本题主要考查函数的单调性及其应用求最值，考查学生数形结合的能力和分类讨论的思想方法．