Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2，置椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．
（l）求椭圆的方程；
（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

1

16

，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，结合焦距为2，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的方程；
（2）设出直线l的方程，代入椭圆的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围成的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．

解答： 解：（1）设短轴的两个三等分点分别为M，N，F为焦点，则△MNF为正三角形，
∴|OF|=

3

2

|MN|，
∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2，
∴1=

3

2

•

2b

3

，解得b=

3

，
∴a=

b2+c2

=2，
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
此方程有两个不等实根，于是3+4k²≠0，且△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0．
整理得-m²+3+4k²＞0． ①
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x₀，y₀）满足x₀=

-4km

4k2+3

，y₀=kx₀+m=

3m

4k2+3

．
从而线段MN的垂直平分线方程为y-

3m

4k2+3

=-

1

k

（x-

-4km

4k2+3

）．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为（

-km

4k2+3

，0），（0，

-m

4k2+3

）．
由题设可得

1

2

|

-km

4k2+3

||

-m

4k2+3

|=

1

16

．
整理得m²=

(4k2+3)3

8|k|

，k≠0．
将上式代入①式整理得（4k²-5）（4k²-8|k|+3）＞0，k≠0．
解得

1

2

＜|k|＜

3

2

．
∴k的取值范围是（-

3

2

，-

1

2

）∪（

1

2

，

3

2

）．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力，属于中档题．