Question

已知函数f（x）=x²+4x+3．
（1）若f（a+1）=0，求a的值；
（2）若g（x）=f（x）+cx为偶函数，求c；
（3）证明：函数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用函数解析式，得到关于a的方程，解方程，求出a的值；（2）利用函数奇偶性得到g（-x）=g（x），化简得到含有c的恒等式，从而fibmc的值；（3）利用函数的单调性定义，证明函数在区间上单调递增，注意证明的步骤．

解答： 解：∵函数f（x）=x²+4x+3，
∴f（a+1）=（a+1）²+4（a+1）+3，
∵f（a+1）=0，
∴（a+1）²+4（a+1）+3=0，
∴a²+6x+8=0，
∴（a+2）（a+4）=0，
∴a=-2或a=-4．
（2）∵函数f（x）=x²+4x+3，
∴g（x）=f（x）+cx=x²+（c+4）x+3．
∵函数g（x）为偶函数，
∴g（-x）=g（x），
∴（-x）²-（c+4）x+3=x²+（c+4）x+3，
∴2（c+4）x=0对于任意x∈R恒成立，
∴c=-4．
（3）在区间[-2，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=x₂²+4x₂+3-（x^₁2+4x₁+3）
=（x₂-x₁）（x₂+x₁）+4（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（x₂+x₁+4），
∵-2≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁+4＞0，
∴（x₂-x₁）（x₂+x₁+4）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数与方程、函数的奇偶性定义、函数的单调性定义，本题难度不大，属于基础题．