Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+1=4a_n+k（k≠-1，n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证：{b_n}是等比数列：
（2）设c_n=

an

2n

，且{c_n}是公差为1的等差数列，求k及S_n的值．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n+1=4a_n+k可得S_n+2=4a_n+1+k，两式相减可得b_n+1=2b_n，由等比数列的定义可得；
（2）由（1）知b_n=（k+1）2^n-1，可得c_n+1-c_n=

k+1

4

=1，由等差数列的通项公式可得c_n和k值，进而可得a_n=2ⁿ（n-

1

2

），代入S_n=4a_n-1+k，计算可得．

解答： 解：（1）∵S_n+1=4a_n+k，∴S_n+2=4a_n+1+k，
两式相减可得a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n，
变形可得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∴b_n+1=2b_n，
又∵S₂=a₁+a₂=4a₁+k，∴a₂=k+3，
∴b₁=a₂-2a₁=k+1≠0
∴{b_n}是k+1为首项2为公比的等比数列
（2）由（1）知b_n=（k+1）2^n-1，
∴a_n+1-2a_n=（k+1）2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

k+1

4

，
∴c_n+1-c_n=

k+1

4

=1，
解得k=3，又c₁=

a1

2

=

1

2

，
∴c_n=

an

2n

=

1

2

+n-1=n-

1

2

，∴a_n=2ⁿ（n-

1

2

）
∴S_n=4a_n-1+k=4×=2^n-1（n-1-

1

2

）+3
=2ⁿ⁺¹（n-

3

2

）+3

点评：本题考查等差数列和数列的递推公式，涉及等差和等比的判定，属中档题．