Question

在锐角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B的对边长分别是a、b，则

b

b+a

的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  3

  ，1）
• B、（

  1

  3

  ，

  2

  -1）
• C、（

  3 -1

  2

  ，

  2

  -1）
• D、（

  3 -1

  2

  ，

  1

  2

  ）

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：先根据三角形为锐角三角形和A与B的2倍关系，求得B的范围，进而利用正弦定理对

b

b+a

变形整理获得cosB的表达式，根据B的范围求得答案．

解答： 解：∵∠A=2∠B，
∴∠A+∠B+∠C=3∠B+∠C＜π
∴0＜∠B＜

π

3

，①
∵∠C=π-3∠B＜

π

2

，
∴∠B＞

π

6

，②
∵∠A=2∠B＜

π

2

，
∴∠B＜

π

4

③
综合①②得

π

6

＜∠B＜

π

4

，
由正弦定理知

b

b+a

=

sinB

sinB+sinA

=

1

1+ sinA sinB

=

1

1+ sin2B sinB

=

1

1+ 2sinBcosB sinB

=

1

1+2cosB

，
∵

π

6

＜∠B＜

π

4

，
∴

2

2

＜cosB＜

3

2

，
∴

3 -1

2

＜

1

1+2cosB

＜

2

-1，
故选C．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是判断出B的范围，这里也是容易出错的地方．