Question

(

x

+

1

3x2

)n的二项展开中．
（1）若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14：3，求展开式中的常数项；
（2）若所有奇数项的二项式系数的和为A，所有项的系数和为B，且

A

B

=

243

64

，求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）依题意C_n⁴：C_n²=14：3，可求得n=10，利用二项展开式的通项公式T_r+1=3^-r

C

r 10

x

10-5r

2

，令

10-5r

2

=0得r的值，即可求得展开式中的常数项；
（2）依题意，A=2^n-1，B=(

4

3

)n，由

A

B

=

243

64

，可解得n=5，从而可知展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项，于是可求得T₃与T₄．

解答： 解：（1）依题意C_n⁴：C_n²=14：3，化简，
得（n-2）（n-3）=56，
解得n=10或n=-5（舍去）．
∴T_r+1=

C

r 10

•x

10-r

2

•（3x²）^-r=3^-r

C

r 10

x

10-5r

2

，
令

10-5r

2

=0得r=2．
∴常数项为第3项，
T₃=3^-2C₁₀²=5．
（2）A=2^n-1，B=(

4

3

)n，
则

A

B

=

2n-1

( 4 3 )n

=

243

64

，解得：n=5，
展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项，
T₃=

C

2 5

(

x

)3(

1

3x2

)2=

10

9

x-

5

2

，
T₄=

C

3 5

(

x

)2(

1

3x2

)3=

10

27

x^-5．

点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．