Question

14．函数f（x）=ax²+bx-1，且0≤f（1）≤1，-2≤f（-1）≤0，则z=$\frac{2a+b}{a+3b}$的取值范围是[$\frac{1}{3}$，2]．

Answer 1

分析 利用已知条件得到a，b的不等式组，利用目标函数的几何意义，转化求解函数的范围即可．

解答 解：函数f（x）=ax²+bx-1，且0≤f（1）≤1，-2≤f（-1）≤0，
可得0≤a+b-1≤1，-2≤a-b-1≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{1≤a+b≤2}\\{-1≤a-b≤1}\end{array}\right.$，表示的可行域如图：
，
$\frac{b}{a}≥0$
则z=$\frac{2a+b}{a+3b}$=$\frac{2+\frac{b}{a}}{1+\frac{3b}{a}}$，令t=$\frac{b}{a}$，可得z=$\frac{2+t}{1+3t}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{5}{3+9t}$．t≥0．
$\frac{5}{3+9t}∈（0，\frac{5}{3}]$，又b=1，a=0成立，此时z=$\frac{1}{3}$，
可得z∈[$\frac{1}{3}$，2]
故答案为：[$\frac{1}{3}$，2]．

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力．