Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=（2n-1）•a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1=3a_n，n≥2，a₂=2S₁=2a₁=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=（2n-1）•a_n，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （1）解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*），
∴a_n=2S_n-1，n≥2，
a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，n≥2，
∴a_n+1=3a_n，n≥2，
∵a₂=2S₁=2a₁=2，
∴a_n=

1，n=1 2×3n-2，n≥2

．
（2）解：b_n=（2n-1）•a_n（n∈N^*）Tn=1×1+3×2+5×2×31+7×2×32+…+(2n-3)×2×3n-3+(2n-1)×2×3n-2（1）
3Tn=1×3+3×2×3+5×2×32+7×2×33+…+(2n-3)×2×3n-2+(2n-1)×2×3n-1（2）
（1）-（2），得：
-2Tn=4+4(31+32+…+3n-2)-2(2n-1)×3n-1，-2Tn=4+4×

3(1-3n-2)

1-3

-2(2n-1)×3n-1⇒Tn=1+(2n-2)×3n-1．
∴T_n=1+（2n-2）×3^n-1．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．