Question

（1）已知f（x）=-3x²+a（6-a）x+6．解关于a的不等式f（1）＞0；
（2）设x、y＞0，x+y+xy=2，求x+y的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,一元二次不等式的解法

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）f（1）=-a²+6a+3＞0，再解不等式；
（2）先根据均值不等式可知xy≤

(x+y)2

4

，代入x+y+xy=2中，得到关于x+y的一元二次不等式进去求得x+y的最小值．

解答： 解：（1）f（1）=-a²+6a+3＞0，
∴3-2

3

＜a＜3+2

3

，
即不等式的解集为{x|3-2

3

＜a＜3+2

3

}；
（2）∵x，y∈R⁺，
∴xy≤

(x+y)2

4

（当且仅当x=y时成立）
∵x+y+xy=2，
∴xy=2-（x+y）
∴2-（x+y）≤

(x+y)2

4

解得x+y≥2

3

-2或x+y≤-2-2

3

（舍去）
∴x+y的最小值为2

3

-2．

点评：本题考查了基本不等式的性质和一元二次不等式的解法，属于中档题．