Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+cos²x-sin²x+a的在区间[0，

π

2

]上的最小值为0．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求使f（x）≥0成立的x的集合．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用两角和与差的三角函数式化简f（x）为一个角的一个三角函数的形式，然后解答．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+cos²x-sin²x+a
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+cos2x+a，
所以f(x)=

3

sin2x+cos2x+a，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a．
因为x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
所以x=

π

2

时，f（x）的取得最小值f（

π

2

）=-1+a．
依题意，-1+a=0，所以a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1．
要使f（x）≥0，即sin(2x+

π

6

)≥-

1

2

．
所以2kπ-

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

7π

6

，k∈Z，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z．
当k=0时，-

π

6

≤x≤

π

2

；当k=1时，

5π

6

≤x≤

3π

2

．
又x∈[0，π]，故使f（x）≥0成立的x的集合是[0，

π

2

]∪[

5π

6

，π]．

点评：本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用化简三角函数解析式为最简形式，然后解答相关问题；关键是正确化简．