Question

已知a是实数，函数f（x）=ax²+2ax-1-a，如果函数y=f（x）的图象在区间（-2，2）上与x轴有交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：分类讨论（1）若a=0，f（x）=-1，可得函数y=f（x）在区间（-2，2）上没有零点；
（2）当a≠0时，令f（x）=0，然后分离变量，转化为

1

a

=x²+2x-1在（-2，2）上有解．

解答： 解：（1）若a=0，则f（x）=-1，∴函数y=f（x）在区间[-1，1]上没有零点，故a≠0，
（2）当a≠0时，令f（x）=0，转化为

1

a

=x²+2x-1在（-2，2）上有解，
设y=

1

a

和函数y=x²+2x-1在（-2，2）上有公共点，由x²+2x-1∈[-2，7），
要使y=

1

a

和函数y=x²+2x-1在（-2，2）上有公共点，
只要

1

a

∈[-2，7），
∴a∈（-∞，-

1

2

，]∪（

1

7

，+∞）．

点评：本题考查函数与x轴的交点即函数的零点，涉及分类讨论的思想，主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，也可以分离变量，转化为函数图象的交点个数问题．