Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O₁，圆O₂均与x轴相切且圆心O₁，O₂与原点O共线，O₁，O₂两点的横坐标之积为6，设圆O₁与圆O₂相交于P，Q两点，直线l：2x-y-8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：综合题,直线与圆

分析：设圆O₁：（x-x₁）²+（y-kx₁）²=k²x₁²，圆O₂：（x-x₂）²+（y-kx₂）²=k²x₂²，两方程相减与圆O₁联立可得x²+y²=6，令y-2x=t，则y=2x+t，代入可得5x²-4tx+t²-6=0，由△=30-t²≥0，可得-

30

≤t≤

30

，利用P到直线l的距离为

|y-2x+8|

5

，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．

解答： 解：设圆O₁：（x-x₁）²+（y-kx₁）²=k²x₁²，圆O₂：（x-x₂）²+（y-kx₂）²=k²x₂²，
两方程相减可得：2ky=x₁+x₂-2x，
与圆O₁联立可得x²+y²=6，
令y-2x=t，则y=2x+t，代入可得5x²-4tx+t²-6=0，
△=30-t²≥0，可得-

30

≤t≤

30

，
∵P到直线l的距离为

|y-2x+8|

5

，
∴y-2x=t=-

30

时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为

8 5

5

-

6

．
故答案为：

8 5

5

-

6

．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．