Question

已知向量

a

=（

3

sinx，-

1

2

（cosx+sinx）），

b

=（cosx，cosx-sinx），f（x）=

a

•

b

+1（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）若A为等腰△ABC的一个底角，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由向量的数量积的坐标运算，得到f（x）的解析式，化简为一个角的一个三角函数的形式解答；
（2）利用（1）的解析式得到f（A），由A为等腰△ABC的一个底角，得到2A-

π

6

的范围，从而求f（A）的范围．

解答： 解：由已知，f（x）=

a

•

b

+1=

3

sinxcosx-

1

2

（cosx+sinx）（cosx-sinx）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos²x
=

3

2

sin2x-

1

4

（1+cos2x）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

4

=sin（2x-

π

6

）-

1

4

，
（1）所以f（x）的最小正周期

2π

2

=π，最大值为1-

1

4

=

3

4

，最小值为-1-

1

4

=-

5

4

；
（2）A为等腰△ABC的一个底角，A＜

π

2

，则f（A）=sin（2A-

π

6

）-

1

4

，-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
所以-

1

2

＜sin（2A-

π

6

）≤1，所以A为等腰△ABC的一个底角，f（A）的取值范围是（-

3

4

，

3

4

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式三角函数的性质的应用，属于中档题．