Question

已知函数g（x）=

2

x

+lnx，f（x）=mx-

m-2

x

-lnx，m∈R．
（1）求函数g（x）的极值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数单调性的判断与证明,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数g（x）的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值；
（2）化简f（x）-g（x）的表达式，求出函数的导数，利用函数在[1，+∞）上为单调函数，转化为m的不等式，通过基本不等式求解最值，即可得到m的取值范围．

解答： 解：（1）∵g′(x)=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

令g'（x）＞0得：x＞2；令g'（x）＜0得：x＜2
又因为g（x）的定义域为（0，+∞）
故g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
故g（x）_极小值=g（2）=1+ln2，无极大值．
（2）由（1），得f(x)-g(x)=mx-

m

x

-2lnx．∴(f(x)-g(x))′=

mx2-2x+m

x2

．
∵f（x）-g（x）在[1，∞）上为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0，在[1，∞）恒成立，
mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

，{

2

x+ 1 x

}max=1∴m≥1．
∴mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，
即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，
而

2x

1+x2

∈(0，1]，m≤0．
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的恒成立问题的应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．