Question

已知函数f（x）=sinxcosx-（1-2sin²x）（sin⁴x-cos⁴x）．
（1）求f（x）的值域；
（2）若x∈[0，π]，求方程f（x）=1的解．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用二倍角的正弦和余弦公式，以及正弦函数的值域，以及二次函数的值域的求法，即可得到；
（2）化简方程f（x）=1，得到sin2x=0或

1

2

，即有2x=kπ或2x=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

，k为整数，讨论k的值，即可得到所求．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosx-（1-2sin²x）（sin⁴x-cos⁴x）
=

1

2

sin2x-cos2x（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）
=

1

2

sin2x+cos²2x=-sin²2x+

1

2

sin2x+1
=-（sin2x-

1

4

）²+

17

16

，
由于-1≤sin2x≤1，则

1

4

∈[-1，1]，
则sin2x=

1

4

，f（x）取得最大值

17

16

；
sin2x=-1时，f（x）取得最小值-

1

2

．
则f（x）值域为：[-

1

2

，

17

16

]；
（2）f（x）=1即为-（sin2x-

1

4

）²+

17

16

=1，
即有sin2x-

1

4

=±

1

4

，
即有sin2x=0或

1

2

，
由于x∈[0，π]，则2x=kπ（k为整数），
即有x=0，

π

2

，π．
或2x=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

，k为整数，
则x=

π

12

，

5π

12

．
则方程的解为：x=0，

π

12

，

5π

12

，

π

2

，π．

点评：本题考查二倍角的正弦和余弦公式及运用，考查正弦函数的值域以及二次函数的值域问题，考查三角函数值的求法，注意周期的运用，考查运算能力，属于中档题．