Question

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（1）若命题p：“存在x∈[

2

，4]，使f（log₂x）-k•log₂x≥2”是真命题，求实数k的取值范围；
（2）设g（x）=|2^x-1|，方程f[g（x）]+

2k

g(x)

=3k+2有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,特称命题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）把命题存在x∈[

2

，4]，使f（log₂x）-k•log₂x≥2”是真命题转化为不等式恒成立，换元后分分离参数k，利用配方法求出二次函数最值得答案；
（2）把已知方程转化为|2^x-1|²-（3k+2）•|2^x-1|+（2k+1）=0，令|2^x-1|=t，则原方程有三个不同的实数解转化为t²-（3k+2）t+（2k+1）=0有两个不同的实数解t₁，t₂，其中0＜t₁＜1，t₂＞1或0＜t₁＜1，t₂=1．然后运用“三个二次”的结合列式得答案．

解答： 解：（1）f（log₂x）-k•log₂x≥2可化为log2x+

1

log2x

-2≥k•log2x，
设

1

log2x

=t，
∵x∈[

2

，4]，∴t∈[

1

2

，2]．
∴不等式可化为k≤t²-2t+1．
记h（t）=t²-2t+1，∵t∈[

1

2

，2]，故h（t）_max=1．
∴k的取值范围是（-∞，1]；
（2）方程f[g（x）]+

2k

g(x)

=3k+2化为|2^x-1|²-（3k+2）•|2^x-1|+（2k+1）=0．
令|2^x-1|=t，则t∈（0，+∞），t²-（3k+2）t+（2k+1）=0有两个不同的实数解t₁，t₂，
其中0＜t₁＜1，t₂＞1或0＜t₁＜1，t₂=1．
记h（t）=t²-（3k+2）t+（2k+1），则

2k+1＞0 h(1)=-k＜0

①或

2k+1＞0 h(1)=-k=0 0＜ 3k+2 2 ＜1

②
解①得，k＞0；②无解．
∴实数k的取值范围为（0，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，关键是对题意得理解，考查了学生的逻辑思维能力，是压轴题．