Question

10．已知函数f（x）=e^x（x²+ax+a）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）得到函数f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），而x∈（-∞，-a）时，f（x）=e^x[x（x+a）+a]＞0，从而求出f（x）的最小值是f（-2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（-2）即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（x+2）（x+a），
由f′（x）=0，解得：x=-2或x=-a，
①-a=-2即a=2时，f′（x）=e^x（x+2）²≥0恒成立，
∴函数f（x）在R递增；
②-a＞-2即a＜2时，x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增		递减		递增

③-a＜-2即a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，-2）	-2	（-2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增		递减		递增

综上，a=2时，函数f（x）在R递增，a＜2时，f（x）在（-∞，-2），（-a，+∞）递增，在（-2，-a）递减，
a＞2时，f（x）在（-∞，-a），（-2，+∞）递增，在（-a，-2）递减；
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得：a≥4时，函数f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），
且f（-2）=e^-2（4-a）≤0，
∵a≥4，
∴x∈（-∞，-a）时，x（x+a）≥0，e^x＞0，
x∈（-∞，-a）时，f（x）=e^x[x（x+a）+a]＞0，
∴a≥4时，函数f（x）存在最小值f（-2）；
法二：由（Ⅰ）得：a≥4时，函数f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），
且f（-2）=e^-2（4-a）≤0，
x→-∞时，x²+ax+a→+∞，∴f（x）＞0，
由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（-∞，-a）递增，
∴x∈（-∞，-a）时，f（x）＞0，
∴a≥4时，函数f（x）的最小值是f（-2）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．