Question

16．已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）（x-3a）＜0}
（1）若A∩B={x|3＜x＜4}，求a的值；
（2）若A⊆B，求a的取值范围；
（3）若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件A∩B={x|3＜x＜4}可直接写出集合B，总而求出a的值．
（2）讨论集合B，建立条件关系即可．
（3）讨论集合B，根据条件A∩B=∅，建立条件关系即可．

解答 解：根据题意，易得A={x|2＜x＜4}，
若a=0，则B=∅，
若a＞0，则B=[a，3a]，
若a＜0，则B=[3a，a]．
（1）若A∩B={x|3＜x＜4}，
当a＞0，此时集合B={x|a＜x＜3a}
a=3时，∵此时B={x|3＜x＜9}，成立，
当a＜0时，此时集合B={x|3a＜x＜a}，
不能满足A∩B={x|3＜x＜4}，
故a=3．
（2）a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，
∴应满足$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3a≥4\end{array}\right.⇒\frac{4}{3}≤a≤2$；
a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，应满足$\left\{\begin{array}{l}3a≤2\\ a≥4\end{array}\right.$无解；
a=0时，B=∅，显然不符合条件；
∴$\frac{4}{3}≤a≤2$时，A⊆B．
（3）若A∩B=∅，若a=0，则B=∅，满足条件，
当a＞0时，若A∩B=∅，则a≥4或0＜a≤2，
若a＜0，满足条件A∩B=∅，
综上a≥4或a≤2．

点评 本题主要考查集合的基本运算，注意要对a进行分类讨论．