Question

11．如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）满足方程lg（x+y）=lgx+lgy，那么y=f（x）在[2，4]上的最小值是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由对数的运算性质可得y=f（x）=$\frac{x}{x-1}$=1+$\frac{1}{x-1}$，由y=f（x）在[2，4]上递减，即可得到最小值．

解答 解：lg（x+y）=lgx+lgy，
即为lg（x+y）=ln（xy），
即x+y=xy，
则有y=f（x）=$\frac{x}{x-1}$=1+$\frac{1}{x-1}$，
由y=f（x）在[2，4]上递减，
可得f（4）取得最小值，且为$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用对数的运算性质和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．