Question

6．设f（α）=$\frac{（1+sinα+cosα）（sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}）}{\sqrt{2+2cosα}}$（π＜α＜2π）．
（1）化简f（α）
（2）求f（$\frac{13π}{12}$）

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式化简；
（2）利用（1）的结论求值．

解答 解：（1）因为π＜α＜2π，所以$\frac{π}{2}＜\frac{α}{2}＜π$，
所以f（α）=$\frac{（1+sinα+cosα）（sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}）}{\sqrt{2+2cosα}}$=$\frac{（2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+2co{s}^{2}\frac{α}{2}）（sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}）}{\sqrt{4co{s}^{2}\frac{α}{2}}}$=-$\frac{2cos\frac{α}{2}（sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}）（sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}）}{2cos\frac{α}{2}}$=cosα．
（2）f（$\frac{13π}{12}$）=cos$\frac{13}{12}π$=-cos$\frac{π}{12}$=-$\sqrt{\frac{1+cos\frac{π}{6}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$=$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，用到了倍角公式；熟练运用公式是关键；容易错的是三角函数符号．