题目内容

如图展示了一个区间（0，k）（k是一个给定的正实数）到实数集R的对应过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB弯成半圆弧，圆心为H，如图2；再将这个半圆置于直角坐标系中，使得圆心H坐标为（0，1），直径AB平行x轴，如图3；在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的圆弧AM的长度，直线HM与直线y=-1相交与点N（n，-1），则与实数m对应的实数就是n，记作n=f（m）．给出下列命题：
（1）f（
k
4
）=6；
（2）函数n=f（m）是奇函数；
（3）n=f（m）是定义域上的单调递增函数；
（4）n=f（m）的图象关于点（
k
2
，0）对称；
（5）方程f（m）=2的解是m=
3
4
k．
其中正确命题序号为
 
．
考点：根据实际问题选择函数类型
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：由题意，首先明确对应关系，m变对应着MH的倾斜角的变，从而求出n；从而对命题依次判断．
解答： 解：（1）当m=
k
4
时，弧AM=
1
4
弧AB；
故可知HM的倾斜角为45°；
故直线HM的方程为y=x+1，
令y=-1得，x=-2；
故f（
k
4
）=2；故不正确；
（2）函数n=f（m）的定义域为（0，k），故不可能是奇函数，故不正确；
（3）由题意知，当m变大时，直线HM与y=-1的交点向右移动，
即n也在变大，故n=f（m）是定义域上的单调递增函数；故正确；
（4）当m=
k
2
时，易知n=0；
当m≠
k
2
时，直线HM的倾斜角θ=
m
k
π，
故直线HM的方程为y=xtan
m
k
π+1，
令y=-1得，x=-
2
tan
m
k
π
；
故n=-
2
tan
m
k
π
；即点（m，-
2
tan
m
k
π
）在n=f（m）的图象上，
m关于
k
2
对称的数是k-m，此时直线HM的倾斜角为π-
m
k
π；
直线HM的方程为y=xtan（π-
m
k
π）+1=-xtan
m
k
π+1；
令y=-1得，x=
2
tan
m
k
π
，
故n=
2
tan
m
k
π
；
故点（k-m，
2
tan
m
k
π
）在n=f（m）的图象上；
故n=f（m）的图象关于点（
k
2
，0）对称；故正确；
（5）由f（m）=2得，直线HM过点（0，1），（2，-1）；
故直线HM的斜率为-1；
故直线HM的倾斜角为
3
4
π；
即
m
k
π=
3
4
π；故m=
3
4
k．
故正确；
故答案为：（3），（4），（5）．
点评：本题考查了学生对于新定义的接受能力，同时考查了映射的变形应用，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
设非负实数x，y满足x-y+1≥0且3x+y-3≤0，则4x+y的最大值为（　　）
A、1
B、
7
2
C、
9
2
D、4
若（x3-
1
x
）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中x3的系数为
 
．
已知椭圆E的中点在原点，焦点在坐标轴上，且经过（
2
，
2
2
）与（1，
3
2
）两点
（1）求E的方程；
（2）设直线L：y=kx+m（k≠0，m＞0）与E交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求△OPQ面积的最大值及此时直线L的方程．
如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在空白区域的概率为（　　）
A、
4-π
2
B、
π-2
2
C、
4-π
4
D、
π-2
4
“（x-2）（x+1）≥0”是“
x-2
x+1
≥0”的
 
条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）．
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
（1）试证：A1，G，C三点共线
（2）试证：A1C⊥平面BC1D
（3）求点C到平面BC1D的距离．
设函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象；
（Ⅱ）若不等式|a+b|-|a-b|≤|a|•f（x）对任意a，b∈R且a≠0恒成立，求实数x的范围．
函数f（x）=x3-3ax2+3b2x，（a，b∈R）
（Ⅰ）若a=1，b=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）在区域D={（x，y）|（x-1）2+y2≤1，x，y∈R}中随机抽取一点，该点的横、纵坐标分别记为a、b，求函数f（x）在R上是增函数的概率；
（Ⅲ）若0＜a＜b，不等式f（
1+1nx
x-1
）＞f（
k
x
）对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．

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