Question

如图，某几何体中，正三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长都为2，四边形ABCD是菱形，其中P为AC的中点．
（1）求B′P与DC′所成角的大小；
（2）求该几何体的体积．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据异面直线所成角的定义，作出异面直线B′P与DC′所成的角，再求出它的大小；
（2）该几何体的体积是四棱锥D-AA′C′C的体积与三棱柱ABC-A′B′C′的体积的和．

解答： 解：（1）连接AB′，PB，如图所示；
∵AD∥BC，且AD=BC，
∴AD∥B′C′，且AD=B′C′，
∴四边形ADC′B′是平行四边形，
∴DC′∥AB′，且DC′=AB′；
∴∠AB′P是异面直线B′P与DC′所成的角；
在△AB′P中，
AP=

1

2

AC=1，
AB′=

AB2+BB′2

=2

2

，
B′P=

BP2+BB′2

=

7

，
∴AP²+B′P²=AB^′2；
∴△AB′P是Rt△；
∴cos∠AB′P=

B′P

AB′

=

7

2 2

=

14

4

，
∴∠AB′P=arccos

14

4

，
即异面直线B′P与DC′所成的角是arccos

14

4

；
（2）该几何体的体积是
V=V_{四棱锥D-AA′C′C}+V_{三棱柱ABC-A′B′C′}
=

1

3

×2²×

3

+

1

2

×2×

3

×2=

10 3

3

．

点评：本题考查了空间中的异面直线所成的角的计算问题，也考查了求空间几何体的体积的问题，求空间中的异面直线所成的角，关键是找角，是基础题．