题目内容
13．市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=af（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{16}{8-x}-1，0≤x≤4\\ 5-\frac{1}{2}x，4＜x≤10\end{array}$，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起有效去污的作用．（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？
（2）若先投放2个单位的洗衣液，6分钟后投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：$\sqrt{2}$取1.4）
分析 （1）由题意知有效去污满足y≥4，则$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 4（\frac{16}{8-x}-1）≥4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}4＜x≤10\\ 4（5-\frac{1}{2}x）≥4\end{array}\right.$，解得答案；
（2）${y_1}=2（5-\frac{1}{2}{x_1}）$，（6≤x1≤10），${y_2}=a（\frac{16}{{8-{x_2}}}-1）$，（0≤x2≤4）分别求出最值，比较后可得答案．
解答 解：（1）由题意知有效去污满足y≥4，
则$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 4（\frac{16}{8-x}-1）≥4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}4＜x≤10\\ 4（5-\frac{1}{2}x）≥4\end{array}\right.$
得0≤x≤8，所以有效去污时间可能达8分钟．
（2）${y_1}=2（5-\frac{1}{2}{x_1}）$，（6≤x1≤10），${y_2}=a（\frac{16}{{8-{x_2}}}-1）$，（0≤x2≤4）
令x1=6+x2，x2∈[0，4]，${y_1}+{y_2}=2（2-\frac{x_2}{2}）+a（\frac{16}{{8-{x_2}}}-1）≥4$，（0≤x2≤4）
∴$a≥{x_2}•\frac{{8-{x_2}}}{{8+{x_2}}}$，若令t=8+x2，t∈[8，12]，$a≥-（t+\frac{128}{t}）+24$，
又$-（t+\frac{128}{t}）+24≤24-16\sqrt{2}≈1.6$，
所以a的最小值为1.6．
点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，函数模型的选择与应用，难度中档．
挑战100单元检测试卷系列答案| A． | （￢p）∧q | B． | p∧q | C． | p∨（￢q） | D． | （￢p）∧（￢q） |
| A． | 120° | B． | 90° | C． | 60° | D． | 45° |
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | -$\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | -$\frac{π}{3}$ |