Question

3．已知E（2，0），F（2，2）分别为正方形ABCD的边AB与CD的中点．
（1）求正方形ABCD外接圆的方程；
（2）求对角线AC与BD所在直线的方程．

Answer 1

分析 根据点E、F的坐标易得线段EF的中点G的坐标为（2，1）；
（1）根据正方形ABCD的性质得到正方形ABCD外接圆的半径，结合该外接圆的圆心是（2，1）书写圆的标准方程即可；
（2）需要分类讨论：ABCD为逆时针排列和顺时针排列两种情况，由点斜式写出直线方程．

解答 解：EF的中点为G（2，1），由平面几何知识知AB在x轴上，
（1）外接圆的半径为$AG=\sqrt{2}$，所以外接圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=2；
（2）①若ABCD为逆时针排列，则直线AC的斜率为1，
直线AC：y-1=x-2，即x-y-1=0．
直线BD的斜率为-1，
所以直线BD：y-1=-（x-2），即x+y-3=0；
②若ABCD为顺时针排列，直线AC：x+y-3=0．
直线BD：x-y-1=0．

点评 本题考查了中点坐标公式、直线的交点，圆的标准方程的求法，考查了计算能力，属于基础题．